Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x＞0}\\{\sqrt{-4x-{x}^{2}}+b，x≤0}\end{array}\right.$在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． [-8，-4+2$\sqrt{5}$）
• B． （-4-2$\sqrt{5}$，-4+2$\sqrt{5}$）
• C． （-4+2$\sqrt{5}$，8]
• D． （-4-2$\sqrt{5}$，-8]

Answer 1

分析 先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（-4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．

解答 解：当x＞0时，f（x）=x²+1，
则f′（x）=2x，
∴f′（1）=2×1=2，
则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，
当x≤0时，y=f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$+b，
即（x+2）²+（y-b）²=4（y≥b）
作出函数图象如右图
随着b减小时，半圆向下移动，当点A（-4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（-4）=-8，
再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点
即$\frac{|-4-b|}{\sqrt{5}}$=2，解得b=-4-2$\sqrt{5}$＜-8
∴b的取值范围是（-4-2$\sqrt{5}$，-8]．
故选：D．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．