Question

11．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{{a{x^2}+x}}{{{{（1+x）}^2}}}$．
（Ⅰ）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x＞0，求函数g（x）=${（1+\frac{1}{x}）^x}{（1+x）^{\frac{1}{x}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调区间即可；
（Ⅱ）得到$g（x）=g（{\frac{1}{x}}）$，设$φ（x）=lng（x）=（x+\frac{1}{x}）ln（1+x）-xlnx$，求出函数的导数，再二次求导，求出φ（x）的最大值，从而求出g（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ） 由题意知：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
且$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{（2ax+1）（1+x）-2（a{x^2}+x）}}{{{{（1+x）}^3}}}=\frac{x（x-2a+3）}{{{{（1+x）}^3}}}$，
①当2a-3≤-1时，即a≤1时，
若x＞0，则f'（x）＞0；若-1＜x＜0，则f'（x）＜0，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，在区间 （-1，0）上单调递减．
②当-1＜2a-3＜0，即$1＜a＜\frac{3}{2}$时
若-1＜x＜2a-3或x＞0，则f'（x）＞0； 若2a-3＜x＜0，则f'（x）＜0，
此时f（x）在区间（-1，2a-3），（0，+∞）上单调递增，在区间（2a-3，0）上单调递减．
③当2a-3=0时$a=\frac{3}{2}$时，f'（x）≥0，故此时f（x）在区间（-1，+∞）上单调递增．
④当2a-3＞0时，即$\frac{3}{2}＜a≤2$时
若-1＜x＜0或x＞2a-3，则f'（x）＞0，若0＜x＜2a-3，则f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（-1，0），（2a-3，+∞）上单调递增，在区间上（0，2a-3）单调递减．
（Ⅱ）显然$g（x）=g（{\frac{1}{x}}）$，设$φ（x）=lng（x）=（x+\frac{1}{x}）ln（1+x）-xlnx$，
则$φ（x）=φ（\frac{1}{x}）$，因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1]上的最大值；
$φ'（x）=（1-\frac{1}{x^2}）ln（1+x）+（x+\frac{1}{x}）•\frac{1}{1+x}-lnx-1$，
设$h（x）=（1-\frac{1}{x^2}）ln（1+x）+（x+\frac{1}{x}）•\frac{1}{1+x}-lnx-1$，
$h'（x）=\frac{{2{{（1+x）}^2}[ln（1+x）-\frac{{2{x^2}+x}}{{{{（1+x）}^2}}}]}}{{{x^3}{{（1+x）}^2}}}$，
由（Ⅰ）知，当a=2时，f（x）在区间（0，1]单调递减，
所以$f（x）=ln（1+x）-\frac{{2{x^2}+x}}{{{{（1+x）}^2}}}＜f（0）=0$，h'（x）＜0，
所以函数h（x）在区间（0，1]单调递减，于是h（x）≥h（1）=0，
从而函数φ（x）在区间（0，1]单调递增，进而φ（x）≤φ（1）=2ln2，
因为φ（x）=lng（x），
所以函数g（x）的最大值等于4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．