Question

8．已知椭圆C的左、右焦点F₁，F₂在x轴上，左顶点为A，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF₁F₂的周长为8+4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$的值；
（Ⅲ）求四边形MF₁NF₂面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a+2c=8+4$\sqrt{3}$，求解即可；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}，\overrightarrow{{F}_{1}N}$的坐标，然后求$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$的值即可；
（Ⅲ）先把四边形MF₁NF₂面积表示出来，然后求其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a+2c=8+4$\sqrt{3}$，
∴a=4，c=2$\sqrt{3}$，
∴b=2，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，即${{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=16$，
∵A（-4，0），
∴直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+4}（x+4）$，
∴M（0，$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+4}$）．
同理，直线QA的方程为$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}（x+4）$，
∴N（0，$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$），
又F₁（-2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}=（2\sqrt{3}，\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+4}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}N}=（2\sqrt{3}，\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{2}M}=12+\frac{16{{y}_{0}}^{2}}{-4{{y}_{0}}^{2}}$=12+$\frac{16{{y}_{0}}^{2}}{-4{{y}_{0}}^{2}}=8$
（Ⅲ）|MN|=|$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+4}-\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$|=|$\frac{-32{y}_{0}}{{x}_{{0}^{2}}-16}$|=|$\frac{-32{y}_{0}}{-4{{y}_{0}}^{2}}$|=|$\frac{8}{{y}_{0}}|$，
∴四边形MF₁NF₂的面积S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•|MN|$=$\frac{16\sqrt{3}}{|{y}_{0}|}$，
∵|y₀|∈（0，2]，
∴当y₀=±2时，S有最小值8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程，向量的数量积以及四边形的面积，属于中等题．