题目内容
2．（1）已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|，g（a）=4a-a2，使不等式f（x）＞g（a）对?a∈R恒成立，求实数x的取值范围；（2）已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$的最大值．
分析 （1）由绝对值的意义可得|x-3|+|x-1|的最小值为4，由题意可得 2＞4a-a2，由此解得实数a的取值范围．
（2）考查柯西不等式，由柯西不等式得：（1+2+3）（a+b+c）≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$）2即可
解答 解：由于|x-3|+|x-1|表示数轴上的x对应点到3和1对应点的距离之和，其最小值等于2，
故由不等式f（x）＞g（a）对?a∈R恒成立，可得 2＞-a2+4a，解得 a$＞2+\sqrt{2}$或a$＜2-\sqrt{2}$，
故实数a的取值范围是：a$＞2+\sqrt{2}$或a$＜2-\sqrt{2}$，
（2）解：由柯西不等式得：（1+2+3）（a+b+c）≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$）2
⇒$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$≤$\sqrt{6}$，
∵$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$的最大值为$\sqrt{6}$，
点评 本题主要考查绝对值的意义，一元二次不等式的解法，考查柯西不等式在恒成立问题中的利用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
13．若直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$ | B． | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ | C． | $\frac{{7\sqrt{10}}}{10}$ | D． | $\frac{{7\sqrt{10}}}{20}$ |
17．对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定义$\overrightarrow{α}$○$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，若两个非零的平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，则$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=（ ）
| A． | $\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$或1 | C． | 1或$\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$ |
7．已知变量x，y线性负相关，且由观测数据算得样本平均数$\overline x=3$，$\overline y=3.5$，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
| A． | y=0.4x+2.4 | B． | y=2x+2.4 | C． | y=-2x+9.5 | D． | y=-0.3x+4.4 |
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2+c2=ac+bc+ca．
12．已知函数f（x）=x2ex，g（x）=3ex+a（a∈R），若存在x∈[-2，2]，使得f（x）＞g（x）成立，则a的取值范围是（ ）
| A． | a＞e2 | B． | a＜e2 | C． | a＞-2e | D． | a＜-2e |