Question

10．设t∈R，已知p：函数f（x）=x²-tx+1有零点，q：?x∈R，|x-1|≥2-t²．
（Ⅰ）若q为真命题，求t的取值范围；
（Ⅱ）若p∨q为假命题，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用q为真命题，转化列出不等式求解即可t的取值范围；
（Ⅱ）求出两个命题都是假命题时的公共部分即可．

解答 解：（Ⅰ）若q为真命题，：?x∈R，|x-1|≥2-t²．
可得2-t²≤0，解得t∈（-$∞，-\sqrt{2}$]$∪[\sqrt{2}，+∞）$．
t的取值范围：（-$∞，-\sqrt{2}$]$∪[\sqrt{2}，+∞）$；
（Ⅱ）p∨q为假命题，两个命题都是假命题；
p为假命题，函数f（x）=x²-tx+1没有零点，即t²-4＜0．解得t∈（-2，2）．
q为假命题，可得t$∈（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$．
p∨q为假命题，t的取值范围$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，注意复合命题的真假的判断，充要条件的应用，考查计算能力．