Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（2，-4），
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用已知条件求出p，即可求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，②如果直线l的斜率为0，分别判断是否满足题意，③直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线与抛物线方程，利用△=0求出k，即可得到直线方程．

解答： 解：（ I）由题抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（2，-4），16=4p，解得p=4，
抛物线C的方程为y²=8x，其准线l方程为x=-2；                     …（4分）
（Ⅱ）由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x=0；
②如果直线l的斜率为0，y=2符合题意；
③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y=kx+2，
由

y=kx+2 y2=8x

得ky²-8y+16=0，
由△=64-64k=0得k=1，故直线l的方程为y=x+2，即x-y+2=0，
因此，直线l的方程为x=0或y=2或x-y+2=0．（用其他方法解答的请酌情给分）      …（12分）

点评：本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，注意分类讨论思想的应用．