Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（Ⅰ）求△ABC的面积S；
（Ⅱ）若c=1，求a的值．

Answer 1

分析 （I）由3asinC=4ccosA，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，可得tanA，sinA，cosA．由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，可得bccosA=3，解得bc．即可得出S=$\frac{1}{2}$bcsinA．
（II）利用（I）及其余弦定理即可得出．

解答 解：（I）∵3asinC=4ccosA，∴3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，
∴tanA=$\frac{4}{3}$，可得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$．
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，∴bccosA=3，∴bc=5．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．
（II）由（I）可得：b=5．
∴a²=1+5²-2×5×1×$\frac{3}{5}$=20，
解得a=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．