Question

11．已知函数y=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R
（1）求y的最大值及取得最大值时相应的x的集合；
（2）怎样由y=sinx（x∈R）图象的平移和伸缩变换来得到该函数的图象？

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦函数公式可求y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的性质即可求出函数的最值，及相应的集合．
（2）利用三角函数的平移变换和伸缩变换求出结果．

解答 解：（1）∵y=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2（$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
∴当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x∈{x|x=4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}时，sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）_max=1，y_max=2．
（2）将函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得y=sin（x+$\frac{π}{3}$），
再将y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象上各点横坐标扩大我原来的2倍而纵坐标不变，得y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
再将y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）的图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可．

点评 本题主要考察三角函数中的恒等变换应用，三角函数的极值的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题型．