Question

若函数f（x）=log

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2

（x²-ax-a）的值域为R，且f（x）在（-3，1-

3

）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：函数f（x）=log

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2

（x²-ax-a）的值域为R，可得出x²-ax-a≤0有解，即a²+4a≥0，再由f（x）在（-3，1-

3

）上是增函数，结合复合函数的单调性得出1-

3

≤

a

2

，解此二不等式即可得出所求的范围．

解答： 解：函数f（x）=log

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（x²-ax-a）的值域为R，可得出x²-ax-a≤0有解，即a²+4a≥0，解得a≥0或a≤-4；
又函数f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）在（-3，1-

3

）上是增函数，
由于外层函数是减函数，可得x²-ax-a在（-3，1-

3

）上是减函数，
所以1-

3

≤

a

2

，解得a≥2-2

3

，
综上可得a的取值范围为a≥0．

点评：本题考查复合函数的单调性，解题的难点是理解函数f（x）=log

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（x²-ax-a）的值域为R，此处是一个易错点，易因为真数为正，误以为内层函数大于0恒成立，导致转化出错．