Question

如表给出一个“三角形数阵”：

1 4       1 2 1 4     3 4 3 8 3 16   …

已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N^*），
（1）求a₈₃；
（2）试写出a_ij关于i，j的表达式；
（3）记第n行的和为A_n，求数列{A_n}的前m项和B_m的表达式．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）求出第一列的公差，利用等差数列的通项公式求a₈₃；    
（2）利用等比数列的性质写出a_ij；
（3）利用错误相减法求出数阵中所有数之和．

解答： 解：（1）题意知，第一列公差为d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，每行成等比数列，且公比q=

1

2

，
由已知a₈₁=

1

4

+(8-1)×

1

4

=2，
又a₈₃是第8行第3个数，
故a₈₃=a₈₁•q²=

1

2

；
（Ⅱ）∵a_i1=

1

4

+(i-1)•

1

4

=

i

4

，
∴a_ij=

i

4

•(

1

2

)j-1．
（Ⅲ）设数阵中第n行的所有数字之和为A_n，
则A_n=

n

4

(1+

1

2

+…+

1

2n-1

)=

n

2

-

1

2

×

n

2n

．
所求之和B_m=A₁+A₂+…+A_m=

1+2+…+n

2

-

1

2

（1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n

）．
设S=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n

，
则

1

2

S=1×

1

22

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，
两式相减得

1

2

S=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=1-

1

2n

-n•

1

2n+1

∴B_m=

n(n+1)

4

-（1-

1

2n

-n•

1

2n+1

）=

n2+n-4

4

+

n+2

2n+1

．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合运用，运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．