Question

若椭圆mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的连线斜率为

2

2

，则

n

m

的值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B的坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，得到-

n(y1-y2)

m(x1-x2)

=

x1+x2

y1+y2

，把直线AB的斜率代入得到

n

m

=

x1+x2

y1+y2

．即

n

m

为AB中点与原点连线的斜率的倒数，则答案可求．

解答： 解：设椭圆mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）与直线y=1-x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∵A，B点在椭圆上，
∴mx12+ny12=1，
mx22+ny22=1．
两式相减得：m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴-

n(y1-y2)

m(x1-x2)

=

x1+x2

y1+y2

，
又A，B也在直线y=1-x上，
∴

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴

n

m

=

x1+x2

y1+y2

．
令A，B的中点为（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
∴

n

m

=

x0

y0

=

x0-0

y0-0

，为AB中点与原点连线的斜率的倒数，
即

n

m

=

1

2 2

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及中点弦问题，常用“点差法”求解，是中档题．