Question

求函数y=

sec2x+tanx

sec2x-tanx

的值域．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：函数解析式分子分母利用同角三角函数间基本关系切化弦后，表示出sinxcosx，进而表示出sin2x，根据正弦函数的值域确定出y的值域即可．

解答： 解：y=

sec2x+tanx

sec2x-tanx

=

1 cos2x + sinx cosx

1 cos2x - sinx cosx

=

1+sinxcosx

1-sinxcosx

（函数的定义域是x≠

π

2

+kπ，k∈Z），
即y-ysinxcosx=1+sinxcosx，
∴sinxcosx=

y-1

y+1

，即sin2x=

2(y-1)

y+1

，
∵-1≤sin2x≤1，且sin2x≠0，即-1≤

2(y-1)

y+1

≤1，且y≠1，
整理得：

2(y-1) y+1 ≥-1 2(y-1) y+1 ≤1

且y≠1，即

3y-1 y+1 ≥0 y-3 y+1 ≤0

且y≠1，
解得：

1

3

≤y≤3，且y≠1，
则函数的值域为[

1

3

，1）∪（1，3]．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．