Question

函数f（x）=cos²x+sinx，那么下列命题中假命题的是（　　）

• A、f（x）在[-π，0]上恰有一个零点
• B、f（x）既不是奇函数也不是偶函数
• C、f（x）是周期函数
• D、f（x）在区间（

  π

  2

  ，

  5π

  6

  ）上是增函数

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=0得f（x）在[-π，0]上恰有2个零点；由f（x）=cos²x+sinx，得f（-x）=cos²x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，由f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

3

4

，得f（x）是周期函数，f（x）在（

π

2

，

5π

6

）上是增函数．

解答： 解：∵由f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=0，
得sinx=

1- 5

2

，
∴f（x）在[-π，0]上恰有2个零点，即A是假命题；
∵f（x）=cos²x+sinx，
∴f（-x）=cos²x-sinx，
故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，即B是真命题；
∵f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

3

4

，
∴f（x）是周期函数，即C是真命题；
∵f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

3

4

，
∴f（x）在（

π

2

，

5π

6

）上是增函数，即D是真命题．
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意三角函数性质的灵活运用．