Question

已知实数x，y满足等式1+cos²πx=y+

1

y

，则x²+y²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题

分析：先判定出y为正，再利用基本不等式得出1+cos²πx=y+

1

y

≥2，由余弦的有界限得πx=kπ，k∈Z．即x=k，k∈Z．

解答： 解：∵1+cos²πx=y+

1

y

，
∴y＞0，
∴1+cos²πx=y+

1

y

≥2，
∵cos²πx≤1，1+cos²πx≤2，
∴1+cos²πx=2，即cos²πx=1，
∴πx=kπ，k∈Z．
∴x=k，k∈Z．当且仅当y=1时成立．
∴x²+y²≥1，
∴x²+y²的最小值为1，
故答案为：1

点评：本题考查是基本不等式，使用基本不等式要注意其使用的条件：一正、二定、三相等；考查了三角函数的有界限．