Question

1．已知定点A（$\sqrt{2}$，1），动点M（x，y）的横、纵坐标同时满足三个条件：0≤x≤$\sqrt{2}$，y≤2，ax-y≤0，则$\overrightarrow{OA•}$$\overrightarrow{OM}$的最大值为4的充分不必要条件是（　　）

• A． a≥0
• B． 1≤a≤$\sqrt{3}$
• C． a≤$\sqrt{2}$
• D． 0≤a≤$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先画出大值的其可行域，根据向量的数量积得到目标函数，利用线性规划的知识可以得到所以直线y=-$\sqrt{2}$x+z经过点B（$\sqrt{2}$，2），即可求出a的最大值，根据充分不必要的定义即可判断答案．

解答 解：因为$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{2}}\\{y≤2}\\{ax+y≤0}\end{array}\right.$．其可行域为：如图所示
z=$\overrightarrow{OA•}$$\overrightarrow{OM}$=$\sqrt{2}$x+y，
即y=-$\sqrt{2}$x+z，作出y=-$\sqrt{2}$x+z，将此直线平行移动，因为z的最大值为4，所以直线y=-$\sqrt{2}$x+z经过点B（$\sqrt{2}$，2），
所以-$\sqrt{2}$a+2≥0，
所以a≤$\sqrt{2}$，
所以则$\overrightarrow{OA•}$$\overrightarrow{OM}$的最大值为4的充分不必要条件是0≤a≤$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，充分必要条件的应用，根据向量的数量积公式是解决本题的关键．