Question

10．已知数列{a_n}满足na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=n²（n+1），数列{b_n}满足：b₁=2，且11b_n+1-10b_n-1=0．
（I）证明：数列{b_n-1}等比；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）若c_n=$\frac{10}{11}$a_n•（b_n-1），求c_n最大时的n值．

Answer 1

分析 （1）由11b_n+1-10b_n-1=0得11b_n+1-11=10b_n-10．推出$\frac{{b}_{n+1}-1}{{b}_{n}-1}$=$\frac{10}{11}$．
（2）由na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=n²（n+1）得（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=（n-1）²n，两式相减可得{a_n}的求和公式，再利用a_n=S_n-S_n-1求出通项公式；
（3）写出c_n的通项公式，计算$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$，从而判断{c_n}的增减性，得出{c_n}的最大项．

解答 解：（1）∵11b_n+1-10b_n-1=0，∴11b_n+1-11=10b_n-10．即11（b_n+1-1）=10（b_n-1）．
∴$\frac{{b}_{n+1}-1}{{b}_{n}-1}$=$\frac{10}{11}$．∴数列{b_n-1}是等比数列．
（2）∵na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=n²（n+1），①
∴（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=（n-1）²n，②
①-②得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=3n²-n．
设{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=3n²-n．
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-n-[3（n-1）²-（n-1）]=6n-4．
∴a_n=6n-4．
（3）b_n-1=（$\frac{10}{11}$）^n-1，c_n=$\frac{10}{11}$a_n•（b_n-1）=（6n-4）•（$\frac{10}{11}$）ⁿ＞0．
∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{\frac{10}{11}（6n+2）}{6n-4}$=$\frac{60n+20}{66n-44}$，令$\frac{60n+20}{66n-44}$≥1，解得n≤$\frac{32}{3}$，∴n≤10，令$\frac{60n+20}{66n-44}$＜1，解得n≥11．
∴当a₁＜a₂＜a₃＜…＜a₁₀＜a₁₁＞a₁₂＞a₁₃＞…＞a_n．
∴当n=11时，c_n最大．

点评 本题考查了对比数列的判定，通项公式的求法，数列单调性的判断，属于中档题．