Question

11．期中考试后，某教师对其所教的甲、乙两个班的学生试卷进行卷面分析．已知甲、乙两班成绩在80分以上的学生分别有20人和16人，现用分层抽样法从甲、乙两班成绩在80分以上的学生中抽取9人进行分析．
（I）若从所抽取的9人中任选4人进行运算错误分析，求这4人不是同一个班的概率；
（Ⅱ）若从所抽取的9人中任选3人进行题意理解错误分析，记这3人中乙班的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由分层抽样性质得甲班抽取5人，乙班抽取4人，从所抽取的9人中任选4人进行运算错误分析，利用对立事件概率计算公式能求出这4人不是同一个班的概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由分层抽样性质得甲班抽取人数为：$20×\frac{9}{20+16}$=5，
乙班抽取人数为：16×$\frac{9}{20+16}$=4，
∴从所抽取的9人中任选4人进行运算错误分析，这4人不是同一个班的概率：
p=1-$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$-$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{20}{21}$．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{10}{84}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{40}{84}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{30}{84}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{4}{84}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{10}{84}$	$\frac{40}{84}$	$\frac{30}{84}$	$\frac{4}{84}$

EX=$0×\frac{10}{84}+1×\frac{40}{84}+2×\frac{30}{84}+3×\frac{4}{84}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．