Question

9．设f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²
（1）求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式；
（2）求f（9）和f（-9）的值；
（3）猜想：f（x）在R上的奇偶性（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）设x∈[-2，0]，则x+2∈[0，2]，f（x）=-f（x+2）由此关系求出求出x∈[-2，0]上的解析式．
（2）先判断函数为以4为周期的周期函数，即可求出f（9）和f（-9）的值；
（3）根据函数在[-2，2]上为奇函数，可以猜想f（x）在R上为奇函数．

解答 解：（1）设x∈[-2，0]，则x+2∈[0，2]，
∴f（x）=-f（x+2）=-2（x+2）+（x+2）²=x²+2x，
（2）函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∴f（9）=f（2×4+1）=f（1）=2-1=1，
f（-9）=f（-2×4-1）=f（-1）=1-2=-1；
（3）∵当x∈[-2，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x∈[0，2]}\\{{x}^{2}+2x，x∈[-2，0]}\end{array}\right.$，
∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-{x}^{2}}\\{{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$=-f（x），
∴f（x）在[-2，2]上为奇函数，
∵函数f（x）为周期函数，
于是可以猜想f（x）在R上为奇函数．

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，做题时要善于利用恒等式，属于中档题．