Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值．
（2）若不等式

g(x)

x

-k≥0在x∈[1，2]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）依题意知，g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上递增，由

g(2)=1 g(3)=4

即可求得a、b的值．
（2）由（1）知，不等式

g(x)

x

-k≥0可化简为k≤x+

1

x

-2，令h（x）=x+

1

x

-2，易求h（x）=x+

1

x

-2在x=2时取得最大值

1

2

，从而可得k的取值范围．

解答： 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+1+b-a，
∵a＞0，
∴g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上递增，
∴

g(2)=1 g(3)=4

，解得

a=1 b=0

；
（2）由（1）知，不等式

g(x)

x

-k≥0可化简为k≤x+

1

x

-2，
令h（x）=x+

1

x

-2，
由双钩函数的性质可得，h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）=x+

1

x

-2在x=2时取得最大值

1

2

，
∴k≤

1

2

．

点评：本题考查函数的单调性质的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．