题目内容
已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=
对称，且方程f（x）=m在[0，
）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（ ）
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| A、[0，1] | ||
| B、[1，2] | ||
C、[
| ||
D、[1，
|
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的图像与性质
分析：由题意可得可得±
=sin
+acos
，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+
）．再根据函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，
）上有两个交点，求得m的范围．
| 1+a2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：
解：由函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=
对称，可得x=
时，函数取得最大值或最小值，
故有±
=sin
+acos
，求得 a=
，
∴f（x）=sinx+
cosx=2sin（x+
）．
在[0，
）上，x+
∈[
，
），f（x）∈（1，2]．
再根据方程f（x）=m在[0，
）上恰有两个不同的实数根，可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，
）上有两个交点，
故
≤m＜2，
故选：C．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
故有±
| 1+a2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∴f（x）=sinx+
| 3 |
| π |
| 3 |
在[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
再根据方程f（x）=m在[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故
| 3 |
故选：C．
点评：本题主要考查三角函数的图象的对称性，两角和的正弦公式，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．
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