Question

已知直线x+y-1=0与椭圆

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=

1

2

x上．
（1）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程；
（2）过D（0，2）的直线与（1）中的椭圆相交于不同两点E、F，且E在D、F之间，设

DE

=λ

DF

，试确定实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程x+y-1=0与椭圆

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的方程，利用韦达定理可求得M（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

），点M在直线l：y=

1

2

x上，可求得a²=2b²；再设右焦点为F₂（c，0），对称点为P（x，y），依题意可求得P（

3c

5

，

4c

5

），利用点P在单位圆x²+y²=1上，可求得a²、b²、c²的值；
（2）分）①过D（0，2）的直线垂直于x轴，②过D（0，2）的直线不垂直于x轴时两类讨论，利用向量的坐标运算与韦达定理可得到关于λ的不等式，解之即可得实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=-x+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

，整理得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，由韦达定理，

x1+x2= 2a2 a2+b2 y1+y2= 2b2 a2+b2

，
∴M（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

），
∵点M在直线l：y=

1

2

x上，
∴

b2

a2+b2

=

a2

2(a2+b2)

⇒a²=2b²；再设右焦点为F₂（c，0），对称点为P（x，y），由对称性知

y-0 x-c • 1 2 =-1 y+0 2 = 1 2 × x+c 2

，解得

x= 3 5 c y= 4 5 c

，又点P在单位圆x²+y²=1上，
∴(

3

5

c)2+(

4

5

c)2=1，解得c²=1，又c²=a²-b²=2b²-b²=1，∴a²=2，b²=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y²=1．
（2）①过D（0，2）的直线垂直于x轴，易知λ=

DE

DF

=

|DE|

|DF|

=

1

3

；
②过D（0，2）的直线不垂直于x轴时，设直线的斜率为k，直线方程为y=kx+2，联立

y=kx+2 x2+2y2-2=0

，整理得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），韦达定理得

x1+x2= -8k 2k2+1 x1•x2= 6 2k2+1

，又

DE

=（x₁，y₁-2）

DF

=（x₂，y₂-2），

DE

=λ

DF

，
∴

x1=λx2 y1-2=λ(y2-2)

，⇒λ=

x1

x2

，∴

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

6k2+3

⇒

x1

x2

+

x2

x1

+2=

32

6+ 3 k2

＜

16

3

，
即λ+

1

λ

+2＜

16

3

，整理得：3λ²-10λ+3＜0，解得

1

3

＜λ＜3．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，综合考查点关于直线的对称、直线与圆锥曲线方程的联立韦达定理的应用及方程思想、等价转化思想、解不等式的能力，属于难题．