题目内容

已知函数①f（x）=5x2；②f（x）=5cosx；③f（x）=5ex；④f（x）=5lnx，其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1，都存在唯一的自变量x2，使
f(x1)f(x2)
=5成立的函数有（　　）个．
A、1个B、2个C、3个D、4个
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：验证f（x）定义域内的任意一个自变量x1，都存在唯一的自变量x2，f(x2)=
25
f(x1)
，即看f(x1)\的倒数的25倍是否唯一．
对于①，对于定义域内的任意一个非零实数x，都有倒数，但倒数对应的自变量x2有两个，不唯一，故不满足条件． 通过举反例可得②④不正确．对于③，对定义域内的任意一个自变量，函数都有唯一的倒数，故满足条件．
解答： 解：对于①f（x）=5x2，对于定义域内的任意一个非零实数x，都有倒数，但倒数对应的自变量x2，有两个，它们互为相反数，故不满足条件．
对于②f（x）=5cosx，当x=2kπ+
π
2
时，函数值f（x）=0，函数没有倒数，故不满足条件．
对于③f（x）=5ex ，对任意一个自变量，函数都有唯一的倒数，故满足条件．
对于④f（x）=5lnx，x=1时，lnx没有倒数，故不满足条件．
故选A．
点评：本题是选择题，主要考查函数的概念及其构成要素，可采用逐一检验的方法进行判定，注意抓住两个关键词“任意”与“唯一”进行判定，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
计算0.25-1×(
3
2
)
1
2
×(
27
4
)
1
4
-10×（2-
3
）-1+1+(
1
300
)-
1
2
=
 
．
已知数列a＞0，b＞0，a1=1，前P项和Sn=
n+1
2
an
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
an
2n
}的前n项和．
已知函数f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x=
π
6
处的切线方程与直线x-y=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的
1
2
，纵坐标不变，再将其向右平移
π
6
个单位得到函数g（x）的图象，已知g（a+
π
4
）=
13
10
，a∈（
π
6
，
π
2
），求cos2a的值．
若函数f（x）=a|x-b|+c满足①f（x+1）为偶函数；②在R上有大于零的最大值；③函数f（x）的图象过坐标原点；④a，b，c∈Z，试写出一组符合要求a，b，c的值
 
．
如图，由半椭圆x2+
y2
a
=1（y≤0，a＞0）和部分抛物线y=x2-1（y≥0）合成的曲线C经过点（
1
2
，-
3
）．
（1）求a的值；
（2）设A（1，0），B（-1，0），过A且斜率为k的直线l与曲线C相交于P、A、Q三点，问是否存在实数k使得∠QBP=90°？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知直线x+y-1=0与椭圆
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=
1
2
x上．
（1）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程；
（2）过D（0，2）的直线与（1）中的椭圆相交于不同两点E、F，且E在D、F之间，设
DE
=λ
DF
，试确定实数λ的取值范围．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）
A、（0，
2
2
）
B、（0，
3
2
）
C、[
2
2
，1）
D、[
3
2
，1）
设y1=0.3 
1
3
，y2=0.4 
1
3
，y3=0.4 
1
4
（　　）
A、y3＜y2＜y1
B、y1＜y2＜y3
C、y2＜y3＜y1
D、y1＜y3＜y2

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