Question

已知函数f（x）=cos（ωx-

π

3

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（ω＞0），且函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数g（x）=f（x）+1的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于原点中心对称，求m的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数进行三角恒等变换，进一步利用周期确定函数的解析式，最后求出单调区间．
（2）根据函数g（x）=f（x）+1=2sin（4x-

π

6

）-1+1=2sin（4x-

π

6

）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得g（x）=2sin[（4(x+m)-

π

6

]的图象关于原点中心对称，则：4m-

π

6

=kπ（k∈Z）进一步求出m的最小值．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos（ωx-

π

3

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

=cosωxcos

π

3

+sinωxsin

π

3

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-（1+cosωx）=

3

sinωx-cosωx-1=2sin（ωx-

π

6

）-1
由于函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

．
所以：T=

2π

ω

=

π

2

解得：ω=4
则：f（x）=2sin（4x-

π

6

）-1
令：2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）
函数f（x）的单调增区间为：[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）
（2）函数g（x）=f（x）+1=2sin（4x-

π

6

）-1+1=2sin（4x-

π

6

）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，
所得g（x）=2sin[（4(x+m)-

π

6

]的图象关于原点中心对称
则：4m-

π

6

=kπ（k∈Z）
所以m=

kπ

4

+

π

24

由于m＞0
则：当k=0时，m的最小值为：

π

24

点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换，利用周期确定函数的解析式，进一步确定单调区间，函数图象的变换，利用函数图象关于原点对称确定m的值．