Question

4．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=2，CD=9，cosB=$\frac{1}{3}$．
（1）求△ACD的面积；
（2）若sin∠BAC=$\frac{2}{3}$sinB，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）因为sin∠BAC=$\frac{2}{3}$sinB，所以BC=$\frac{2}{3}$AC，利用余弦定理求出AC，再求出AB的长．

解答 解：（1）因为∠D=2∠B，cosB=$\frac{1}{3}$，
所以cosD=cos2B=2cos²B-1=-$\frac{7}{9}$．…（3分）
因为∠D∈（0，π），
所以sinD=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．…（5分）
因为AD=2，CD=9，
所以△ACD的面积S=$\frac{1}{2}AD•CD•sinD$=$\frac{1}{2}×2×9×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=4$\sqrt{2}$．…（7分）
（2）因为sin∠BAC=$\frac{2}{3}$sinB，所以BC=$\frac{2}{3}$AC
在△ACD中，AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=113，所以AC=$\sqrt{113}$．
sin∠BAC=$\frac{2}{3}$sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=sinD，所以∠BAC=∠D=2∠B，
所以sinC=sin （180°-B-2B）=sin（2B+B）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=sinB
所以C=B，所以AB=$\sqrt{113}$．

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．