Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（a为常数）
（1）当a=0时，①求f（x）的单调增区间；②试比较f（m）与f（

1

m

）的大小；
（2）g（x）=e^x-x+1，若对任意给定的x₀∈（0，1]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出f（x）的单调增区间；
（2）求函数的最值，可以方程相等转化为函数最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当a=0时，①f（x）=2x-2-2lnx（x＞0），
则f′(x)=2-

2

x

．x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）的增区间（1，+∞）
②f（m）=2m-2-2lnmf(

1

m

)=

2

m

-2-2ln

1

m

=

2

m

-2+2lnm
记h(m)=f(m)-f(

1

m

)=2m-

2

m

-4lnmh′(m)=2+

2

m2

-

4

m

=

2m2-4m+2

m2

=

2(m-1)2

m2

≥0，
∴h（m）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，
∴（0，1）时，h（m）＜0，（1，+∞）时，h（m）＞0，
∴m∈（0，1）f(m)＜f(

1

m

)；m∈（1，+∞）f(m)＞f(

1

m

)；m=1时，f(m)=f(

1

m

)
（2）∵g′（x）=e^x-1，当x∈（0，1]，g′（x）＞0，
∴函数g（x）在区间（0，1]上是增函数．∴g（x）∈（2，e]
当a=2时，f（x）=-2lnx，不符题意当a≠2时，f′(x)═2-a-

2

x

=

(2-a)x-2

x

，
由题意有f（x）在（0，e]上不单调0＜

2

2-a

＜e，
∴a＜2-

2

e

①(0，

2

2-a

)，f′(x)＜0，(

2

2-a

，e]，f′(x)＞0，
∴f（x）先减后增，即

f( 2 2-a )≤2 f(e)≥e

，
即a-2ln

2

2-a

≤2
②（2-a）（e-1）-2≥e
③令h(a)=a-2ln

2

2-a

，a∈(-∞，2-

2

e

)
令

2

2-a

=t，t∈（0，e），
∴h(a)=r(t)=2-

2

t

-2lnt，r′(t)=

2

t2

-

2

t

=

2(1-t)

t2

，
∴t∈（0，1），r（t）单调递增；t∈（1，+∞），r（t）单调递减，
∴r（t）≤r（1）=0≤2
即对任意的a∈(-∞，2-

2

e

)，h（a）≤2
由③得a≤

4-e

1-e

④，由①③当a∈(-∞，

4-e

1-e

]时，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，确定函数的最大值是关键．综合性较强，运算量较大．