Question

数列{a_n}各项均不为0，前n项和为S_n，b_n=a_n³，b_n的前n项和为T_n，且T_n=S_n²
（1）若数列{a_n}共3项，求所有满足要求的数列；
（2）求证：a_n=n（n∈N^*）是满足已知条件的一个数列；
（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）n=1时，T₁=S₁²，a13=a12；n=2时，T₂=S22，a13+a23=(a1+a2)2；n=3时，T₃=S32，a13+a23+a33=（a₁+a₂+a₃）²．由此能求出符合要求的数列．
（2）a_n=n，即证明1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，用数学归纳法能证明a_n=n（n∈N^*）是满足已知条件的一个数列．
（3）由已知得2an+1Sn+an+12=an+13，从而2Sn=an+12-an+1，进而得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0=0，由此能求出结果．

解答： （1）解：n=1时，T₁=S₁²，a13=a12，解得a₁=1或a₁=0（舍），
n=2时，T₂=S22，a13+a23=(a1+a2)2，
1+a23=（1+a₂）²，
解得a₂=2或a₂=-1，或a₂=0，舍，
n=3时，T₃=S32，a13+a23+a33=（a₁+a₂+a₃）²，
当a₂=2时，1+8+a33=（1+2+a₃）²，
解得a₃=3或a₃=-2，或a₃=0（舍），
当a₂=-1时，1-1+a33=（1-1+a₃）²，
解得a₃=1或a₃=0（舍）．
∴符合要求的数列有：1，2，3；1，2，-2；1，-1，1．
（2）证明：∵a_n=n，即证明1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
用数学归纳法证明：
①n=1时，1³=1²，成立．
②假设n=k时，成立，即1³+2³+3³+…+k³=（1+2+3+…+k）²成立，
则n=k+1时，1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³
=（1+2+3+…+k）²+（k+1）³
=[

(1+k)k

2

]2+(k+1)3
=[

(1+k)

2

]2(k2+4k+4)
=[

(1+k)(k+2)2

2

]2
=[

(1+k+1)(k+1)

2

]2
=[1+2+3+…+k+（k+1）]²，也成立，
由①②，对于n∈N^*，都有1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
∴a_n=n（n∈N^*）是满足已知条件的一个数列．
（3）解：∵Sn2=a13+a23+a33+…+an3，①
∴Sn+12=a13+a23+…+an3+an+13，②
②-①，得2an+1Sn+an+12=an+13，
∵a_n+1≠0，∴2Sn+an+1=an+12，
∴2Sn=an+12-an+1，③
n≥2时，2Sn-1=an2-an，④
③-④，得2an=an+12-an+1-an2+an，
∴an+1+an=an+12-an2，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0=0，
∴a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1，n≥2．
构造：an=

n，n≤2014，n∈N* 2014(-1)n，n≥2015，n∈N*

．

点评：本题考查所有满足要求的数列的求法，考查a_n=n（n∈N^*）是满足已知条件的一个数列的证明，考查一个满足已知条件的无穷数列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014的数列的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．