Question

已知函数f（x）=

x+1-a

a-x

（x≠a）．
（1）证明：函数f（x）在区间（a，+∞）上是增加的；
（2）当x∈[a+

1

2

，a+1]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（a，+∞）上是增函数．
（2）由（1）可得f（x）在[a+

1

2

，a+1]上是增函数，从而求得当x∈[a+

1

2

，a+1]时，求函数f（x）的取值范围．

解答： （1）证明：对于f（x）=

x+1-a

a-x

（x≠a）=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，
设a＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（-1+

1

a-x1

）-（-1+

1

a-x2

）=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

，
由a＜x₁＜x₂，可得x₁-x₂＜0，a-x₁＜0，a-x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在区间（a，+∞）上是增函数．
（2）由（1）可得f（x）在[a+

1

2

，a+1]上是增函数，故当x=a+

1

2

时，f（x）取得最小值为-3；当x=a+1时，f（x）取得最大值为-2，
故f（x）的值域为[-3，-2]．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义和证明，利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题．