Question

5．（1）正实数x、y满足x+2y=xy，且x+2y＞m²+2m恒成立，试确定实数m的取值范围；
（2）已知a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）运用x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+4=8，得出8＞m²+2m，求解即可；
（2）利用基本不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵两个正实数x、y满足x+2y=xy，
∴$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+4=8，
∵x+2y＞m²+2m恒成立，
∴8＞m²+2m，
求解得出m的范围：-4＜m＜2；
（2）证明：（a+b+c）•（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，当且仅当a=b=c＞0时取等号．
∵a+b+c=1，∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≥9．

点评 本题考查了基本不等式求解最值，把不等式恒成立问题转化为最值求解，属于中档题．