Question

15．设过曲线f（x）=e^x+x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l₁，总存在过曲线g（x）=2cosx-ax上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为[-1，2]．

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k₁，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x₂，y₂）可得切线l₂的斜率为k₂，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，分别求y₁=a+2sinx₂的值域A，y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域B，由题意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范围．

解答 解：f（x）=e^x+x的导数为f′（x）=e^x+1，
设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，
则过（x₁，y₁）处的切线l₁的斜率为k₁=e^x₁+1，
g（x）=2cosx-ax的导数为g′（x）=-2sinx-a，
过g（x）图象上一点（x₂，y₂）处的切线l₂的斜率为k₂=-a-2sinx₂．
由l₁⊥l₂，可得（e^x₁+1）•（-a-2sinx₂）=-1，
即a+2sinx₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$，
任意的x₁∈R，总存在x₂∈R使等式成立．
则有y₁=a+2sinx₂的值域为A=[a-2，a+2]．
y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域为B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[a-2，a+2]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤2．
故答案为：[-1，2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．