Question

18．已知函数f（x）=xlnx-2x+4，是否存在实数m，使得m+mf′（x）≤xf（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 问题转化为m≤$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$，x∈（1，+∞），根据函数的单调性求出g（x）的最小值即m的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx-2x+4的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=lnx-1，
若m+mf′（x）≤xf（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即m≤$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$，x∈（1，+∞），
则g′（x）=$\frac{2{x（lnx）}^{2}-4xlnx+2x+4lnx-4}{{（lnx）}^{2}}$=$\frac{2（lnx-1）[x（lnx-1）+2]}{{（lnx）}^{2}}$，
令h（x）=xlnx-x+2，x＞1，
则h′（x）=lnx＞0，h（x）在（1，+∞）递增，
∴h（x）＞h（1）=1＞0，
故令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜e，
∴g（x）在（1，e）递减，在（e，+∞）递增，
∴g（x）≥g（e）=4e-e²，
∴m≤4e-e²，
故m的最大值是4e-e²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．