Question

13．（1）设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z为纯虚数，求$\overline{z}$；
（2）已知（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）ⁿ的展开式中所有二项式系数之和为64，求展开式的常数项．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi，则依题意得（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（3b+4a）i为纯虚数，且|z|=1，列出方程组，求解即可得答案；
（2）利用二项式定理系数的性质，求出n，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可．

解答 解：（1）设z=a+bi，则依题意得（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（3b+4a）i为纯虚数，且|z|=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}3a-4b=0\\{a^2}+{b^2}=1\\ 3b+4a≠0\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{5}\\ b=\frac{3}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ b=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$，
∴$\overline{z}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$或$\overline{z}=-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$；
（2）依题意得2ⁿ=64，∴n=6．
展开式中第r+1项为${T}_{r+1}{=C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{\frac{6-r}{2}}（-1）^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=$（-1{）^{r}C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{3-r}$，
当3-r=0时，即r=3，
∴${T}_{4}=（-1{）^{3}C}_{6}^{3}{2}^{3}=-160$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力，是中档题．