Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）图象上任意一点的横坐标缩短为原来的

1

2

（纵坐标不变），再向右平移m（m＞0）个单位，得到的函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=sin（2x-2m+

π

4

），再根据题意以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，可得-2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，由此求得m的最小值．

解答： 解：（1）由函数的图象可得A=1

T

4

=

π

2ω

=

π

4

-（-

π

4

），求得ω=1．
再根据五点法作图可得 1×（-

π

4

）+φ=0，求得φ=

π

4

，∴函数f（x）=sin（x+

π

4

）．
（2）将f（x）图象上任意一点的横坐标缩短为原来的

1

2

（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+

π

4

）的图象；
再向右平移m（m＞0）个单位，得到的函数g（x）=sin[2（x-m）+

π

4

]=sin（2x-2m+

π

4

）的图象，
若g（x）的图象关于y轴对称，则有-2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，即 m=-

kπ

2

-

π

8

，故m的最小正值为

3π

8

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．