Question

已知函数t（x）=x³+mx²+x是奇函数，s（x）=ax²+nx+2是偶函数，设f（x）=t（x）+s（x）．
（1）若a=-1，令函数g（x）=2x-f（x），求函数g（x）在x∈（-1，2）上的极值；
（2）若对任意x1，x2∈(-

1

3

，+∞)，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由奇偶性求得m=n=0，再由g（x）的导数，求出（-1，2）上的单调区间，即可得到极值；
（2）方法一、求出导数，运用二次函数的对称轴和区间的关系，得到单调性，解不等式即可得到范围；
方法二、运用参数分离，求出右边的最小值即可．

解答： 解：由函数t（x）=x³+mx²+x是奇函数，
s（x）=ax²+nx+2是偶函数，
故m=0，n=0．
（1）a=-1时，f（x）=（x³+x）+（ax²+2）=x³-x²+x+2，
g（x）=2x-（x³-x²+x+2）=-x³+x²+x-2，
则g'（x）=-3x²+2x+1，
由g'（x）=0得x=-

1

3

或x=1，

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	递减	- 59 27	递增	-1	递减

∴函数g（x）在x=-

1

3

处取得极小值-

59

27

；在x=1处取得极大值-1．
（2）方法一、f'（x）=3x²+2ax+1的对称轴为x=-

a

3

，对?x1，x2∈(-

1

3

，+∞)恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
所以函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数．
①若-

a

3

≥-

1

3

即a≤1时，要使函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数，
则有△=4a²-12≤0，
解得：-

3

≤a≤

3

，所以-

3

≤a≤1；
②若-

a

3

＜-

1

3

即a＞1时，要使函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数，
则有f(-

1

3

)=3•(-

1

3

)2+2a•(-

1

3

)+1≥0，
解得：1＜a≤2；
综上，实数a的取值范围为-

3

≤a≤2．
方法二（参数变量分离法）∵f'（x）=3x²+2ax+1≥0在(-

1

3

，+∞)上恒成立∴-2ax≤3x²+1，
（1）当x=0时，a∈R，∴-2ax≤3x²+1．
（2）当x＞0时，-2a≤

3x2+1

x

=3x+

1

x

，因3x+

1

x

≥2

3

，-2a≤2

3

，a≥-

3

（3）当-

1

3

＜x＜0时，-2a≥

3x2+1

x

=3x+

1

x

，
而3x+

1

x

＜3(-

1

3

)+

1

1 3

=-4，-2a≥-4，a≤2．
综上所述，实数a的取值范围为[-

3

，2]．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的导数的运用：求极值，考查函数的单调性的判断和运用，考查分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．