Question

已知抛物线C：x²=4y焦点F的直线与C交于A，B两点．
（Ⅰ）求线段AB中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）动点P是抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB与抛物线C的准线l分别交于点M，N，求

FM

•

FN

的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）AB的方程为：y=kx+1，联立方程组化简得：x²-4kx-4=0，根据韦达定理，即可求线段AB中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）求出M，N点横坐标，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）C：x²=4y的焦点为（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点（x，y）．
AB的方程为：y=kx+1．
联立方程组化简得：x²-4kx-4=0，根据韦达定理，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴x=

x1+x2

2

=2k，y=

y1+y2

2

=2k²+1，
∴AB中点的轨迹方程：y=

1

2

x2+1．                            …（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，

x02

4

），则直线PA的方程为：y-

x12

4

=

x12 4 - x02 4

x1-x0

（x-x₁），
当y=-1时，x=

-4+x1x0

x1+x0

．即M点横坐标为x_M=

-4+x1x0

x1+x0

，
同理可得N点横坐标为x_N=

-4+x2x0

x2+x0

．                    …（8分）
∴x_Mx_N=

-4+x1x0

x1+x0

•

-4+x2x0

x2+x0

=-4，
∴

FM

•

FN

=（x_M，-2）•（x_N，-2）=x_Mx_N+4=0 …（12分）

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，属于中档题．