题目内容
已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为 ．
考点：直线与圆相交的性质
专题：直线与圆
分析：将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理、两个向量垂直的性质，即可求出m的值．
解答：
解：由题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组
求得消y得5x2+10x+4m-27=0，
于是根据韦达定理得，x1+x2=-2，x1•x2=
．
∴y1•y2=
•
=
[9-3（x1+x2）+x1•x2]=
[9+6+
]=
．
再根据OP⊥OQ，可得
•
=x1•x2+y1•y2=
+
=0，求得m=3，
故答案为：3．
|
于是根据韦达定理得，x1+x2=-2，x1•x2=
| 4m-27 |
| 5 |
∴y1•y2=
| 3-x1 |
| 2 |
| 3-x2 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 4m-27 |
| 5 |
| m+12 |
| 5 |
再根据OP⊥OQ，可得
| OP |
| OQ |
| 4m-27 |
| 5 |
| m+12 |
| 5 |
故答案为：3．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．