Question

【题目】已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线l经过点，且与椭圆交于不同的两点，若（为坐标原点）成等比数列，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线的斜率为定值，该定值为.

【解析】

（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再由，求得k的值，即可得到结论．

（1）由题意，得，解得，故椭圆的方程为．

（2）由题意，可设直线的斜率为，则直线的方程为，设，．

联立方程，得，

消去，整理得，

由根与系数的关系，得，

由，得，

因为成等比数列，所以，

所以，即，

即，

所以，

整理得，所以，

因为，所以，

故直线的斜率为定值，该定值为．