Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，先证明四边形是平行四边形，可得，只需证平面即可，而由已知易证平面，从而可证得，而由等腰三角形的性质可证得，由此可证得平面；

（2）先在中利用勾股定理求出的长，再在中，求出，从而可得的长，而为的中点，所以，在中，再利用勾股定理求出，而由（1）可知平面，所以，代值可得答案.

（1）证明：如下图，取的中点，连接，.

又为的中点，则是的中位线.

所以且.

又且，

所以且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

因为，为的中点，

所以.

因为，，

所以.

因为平面，所以.

又，所以平面.

所以.

又，所以平面.

又，所以平面.

（2）因为，

所以由勾股定理得，，.

所以.

所以.

由（1）得，平面，所以.

所以.

由（1）得，平面，

所以.