Question

【题目】已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由轴，结合勾股定理可得，从而可求出，，则可知，结合，可求出，即可求出椭圆的标准方程.

（2）设，，，与椭圆方程联立，可得，，从而可用 表示出，用内切圆半径表示出，即可知，结合基本不等式，可求出当半径取最大时， 的值，从而可求出直线的方程.

解：（1）因为轴，所以，则，

由，，解得，，，

由椭圆的定义知， ，即，

椭圆的标准方程为.

（2）要使的内切圆的面积最大，需且仅需其的内切圆的半径最大.

因为，，设，，易知，直线l的斜率不为0，

设直线，联立，整理得，

故，；

所以

，

又，

故，即，；

当且仅当，即时等号成立，此时内切圆半径取最大值为，

直线l的方程为或.