题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
是
中点，
是
中点，
是线段
上一动点.
（1）当为中点时，求证：平面
平面
；
（2）当
平面
时，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由已知可得
，当
为
中点时
，结合
，可证
平面
，进而证明结论；
（2）过点
作
的平行线，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定点
坐标，以及平面
和平面
的法向量坐标，利用
垂直平面的法向量，求出点坐标，再求出平面
的法向量坐标，由空间向量面面角公式，即可求解.
（1）证明：
，
为等腰直角三角形，当为中点时，
.
平面
平面
.
且都在平面中，
平面.
平面
，
平面
平面.
（2）以点为坐标原点，
所在的直线，
过点与平行的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
.，
在线段上，.
，
，
，
是平面的法向量，
当
平面时，
，
，
即
，
为平面的法向量.
设
为平面的法向量，
，
，
，
，
不妨设
，则
，
.
.
二面角
的余弦值为.
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