Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₃x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≤2．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数为奇函数，可设x＜0，则-x＞0，然后将-x代入x＞0时的解析式化简即可；
（2）按照分段函数分段处理的原则列出不等式，分别解之，最终取并集即可．

解答： 解：（1）易知f（0）=0；
当x＜0时，则-x＞0，所以f（x）=-f（-x）=-log₃（-x）；
所以f（x）=

log3x，x＞0 0，x=0 -log3(-x)，x＜0

．
（2）由题意：当x＞0时有log₃x≤2，解得0＜x≤9；
当x=0时，f（0）=0显然满足题意；
当x＜0时有-log₃（-x）≤2，即log₃（-x）≥-2，解得x≤-

1

9

．
综上可得原不等式的解集为[0，9]∪(-∞，-

1

9

]．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，以及分段函数“分段处理”的解决问题的原则．属于基础题，难度不大．