题目内容

已知△ABC的面积S=a2-（b-c）2且b+c=8，求△ABC面积的最大值．
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：由余弦定理得cosA=
b2+c2-a2
2bc
，化简后结合三角形的面积公式，代入式子：S=a2-（b-c）2化简，利用倍角公式求出tan
A
2
的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，代入三角形面积公式，利用基本不等式求出最大值．
解答： 解：由余弦定理得，cosA=
b2+c2-a2
2bc
，
则b2+c2-a2=2bc•cosA，
因为S=a2-（b-c）2=a2-（b2+c2-2bc）=2bc-2bc•cosA，
所以
1
2
bcsinA=2bc（1-cosA），即sinA=4（1-cosA）
则2sin
A
2
cos
A
2
=4×2sin2
A
2
，cos
A
2
=4sin
A
2
，
所以tan
A
2
=
1
4
，
则sinA=2sin
A
2
cos
A
2
=
2sin
A
2
cos
A
2
sin2
A
2
+cos2
A
2
=
2tan
A
2
tan2
A
2
+1
=
2×
1
4
1
16
+1
=
8
17
，
因为b+c=8，所以△ABC的面积S=
1
2
bcsinA=
4
17
bc≤
4
17
(
b+c
2
)2=
64
17
，
当且仅当b=c时取等号，此时△ABC面积的最大值是
64
17
．
点评：本题考查倍角公式，同角三角函数的基本关系，余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
△ABC中，∠A=60°，a=
6
，b=4，那么满足条件的△ABC（　　）
A、有 一个解
B、有两个解
C、无解
D、不能确定
对于数集X={-1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={
a
|
a
=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意
a1
∈Y，存在
a2
∈Y，使得
a1
•
a2
=0，则称X具有性质P．
（Ⅰ）判断{-1，1，2}是否具有性质P；
（Ⅱ）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈，且当xn＞1时，x1=1．
若复数Z1=i，Z2=3-i，则
Z2
Z1
=
 
．
判断下列各式的符号：
（1）sin4•cos4；
（2）sin8•cos8．
在三角形ABC中，AB=2，AC=
7
，BC=
5
，点D、E分别在边AC，BC上，且
|BE|
|EC|
=
|CD|
|DA|
，则
AE
•
BD
的最大值为
 
．
已知圆C：x2+y2-2x-2y=0，且圆中过点（2，3）的最短弦为AB，则直线AB在x轴上的截距为（　　）
A、-6B、2C、4D、8
直线l：y=k（x-2）+2与圆C：x2+y2-2x-2y=0相切，则直线l的斜率为（　　）
A、-1B、-2C、1D、2
已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2，则f（2017）=
 
．

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