Question

已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线2x²-2y²=1的左、右焦点，且sinC是sinA，sinB的等差中项．
（1）求顶点C的轨迹T的方程；
（2）设P（-2，0），过点E（-

2

7

，0）作直线l交轨迹T于M、N两点，问∠MPN的大小是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由条件可得|BC|+|AC|=2|AB|=4，根据椭圆的定义，即可求得点C的轨迹T的方程；
（2）设直线MN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理和向量知识，即可证得PM⊥PN．

解答： 解：（1）由条件知双曲线2x²-2y²=1的左、右焦点A （-1，0 ），B （1，0 ），
且sinA+sinB=2sinC，∴|BC|+|AC|=2|AB|=4，
∴点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4的椭圆（不包括x轴上两点）．
∴点C的轨迹T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1 （x≠±2）；
（2）设M （x₁，y₁）、N （x₂，y₂），直线MN：x=my+b，
由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得 （3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0，
∴y₁+y₂=-

6mb

4+3m2

，y₁y₂=

3b2-12

4+3m2

，
∵

PM

=（x₁+2，y₁），

PN

=（x₂+2，y₂）
∴

PM

•

PN

=（ x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+b+2 ） （my₂+b+2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m （b+2）（y₁+y₂）+（b+2）²，
=（m²+1）•

3b2-12

4+3m2

+m （b+2）•（-

6mb

4+3m2

）+（b+2）²，
由于直线l过点E（-

2

7

，0），则b=-

2

7

，代入上式，化简即可得到

PM

•

PN

=0，
则∠MPN的大小为定值，且为90°．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．