Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，点P是AD₁的中点，求异面直线AA₁与B₁P所成的角（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连结B₁E，则PE∥AA₁，找到平面角，解Rt△B₁PE即可．

解答： 解：（1）解法一：过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连结B₁E（如图），则PE∥AA₁，
∴∠B₁PE是异面直线AA₁与B₁P所成的角．       （3分）
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°，∴∠A₁AD₁=30°，
A1B1=A1D1=

1

2

AD1=2，A1E=

1

2

A1D1=1，
∴B1E=

B1A12+A1E2

=

5

．又PE=

1

2

AA1=

3

．（8分）
∴在 Rt△B₁PE中，tan∠B1PE=

B1E

PE

=

5

3

=

15

3

（10分）
∴异面直线AA₁与B₁P所成的角为arctan

15

3

．   （12分）
解法二：以A₁为原点，A₁B₁所在的直线为x轴建立空间直角坐标
系如图所示，则A₁（0，0，0），A(0，0，2

3

)，B₁（2，0，0），P(0，1，

3

)（4分）
∴

A1A

=(0，0，2

3

)，

B1P

=(-2，1，

3

)（8分）
∴cos＜

A1A

，

B1P

＞=

A1A • B1P

| A1A| •| B1P|

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．（10分）
∴异面直线AA₁与B₁P所成的角为arccos

6

4

． （12分）

点评：本题考查了异面直线所成的角的求法，方法一利用将空间角转化为平面角，利用解三角形求之；方法二利用空间向量，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求之．