Question

已知抛物线的顶点在原点，准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，又抛物线与双曲线的一个交点为(3，2

6

)．
（1）求抛物线与双曲线的方程．
（2）已知直线y=ax+1与双曲线交于A，B两点，求实数a的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将交点(3，2

6

)代入得p的值，可得抛物线方程以及它的准线方程，可得c=2．再由点(3，2

6

)在双曲线上，a²+b²=c²，因此可以解得a²和b²的值，可得双曲线的方程．
（2）将直线y=ax+1代入双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程有2个实数根的条件求得a的范围．

解答： 解：（1）由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
将交点(3，2

6

)代入得p=4，故抛物线方程为y²=8x，它的准线方程为x=-2，
可得双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则c=2．又点(3，2

6

)也在双曲线上，因此有

9

a2

-

24

b2

=1．
又a²+b²=4，因此可以解得a²=1，b²=3，因此，双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．
（2）将直线y=ax+1代入双曲线的方程x2-

y2

3

=1可得 （3-a²）² x²-2ax-4=0，
由

3-a2≠0 △=4a2-4(3-a2)•(-4)＞0

 求得-2＜a＜2，且 a≠±

3

．

点评：本题主要考查抛物线和双曲线的性质、标准方程的应用，直线和圆锥曲线的位置关系，属于基础题．