Question

已知函数f（x）=2lnx-ax．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，0），求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）如果x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）的两个零点，f′（x）为f（x）的导数，证明：f′（

x1+2x2

3

）＜0．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：函数思想,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导数求出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，把点（2，0）的坐标代入方程，求出a的值；
（2）求出函数的导数f′（x），讨论a的值，在f′（x）＞0时，f（x）增，f′（x）＜0时，f（x）减，从而得出单调区间；
（3）由题意，求出f′（

x1+2x2

3

）的表达式，根据它的表达式，利用构造适当的函数，求出函数最值的方法证明f′（

x1+2x2

3

）＜0即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2lnx-ax，（x＞0）；
∴f′（x）=

2

x

-a，∴f′（1）=2-a；
又∵f（1）=-a，
∴曲线在点（1，f（1））处的切线方程为
y-（-a）=（2-a）（x-1），
即y+a=（2-a）（x-1）；
又切线过点（2，0），
∴0+a=（2-a）（2-1），解得a=1；
（2）由（1）知，f′（x）=

2

x

-a，（x＞0），
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，令f′（x）＞0，得x∈（0，

2

a

），∴f（x）在（0，

2

a

）上是增函数，
令f′（x）＜0，得x∈（

2

a

，+∞），∴f（x）在（

2

a

，+∞）上是减函数；
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，

2

a

），单调减区间是（

2

a

，+∞）；
（3）由题意知，
f（x₁）=0，f（x₂）=0，
即

2lnx1-ax1=0 2lnx2-ax2=0

；
则2lnx₂-2lnx₁=a（x₂-x₁），∴a=

2ln x2 x1

x2-x1

；
又∵f′（x）=

2

x

-a，
∴f′（

x1+2x2

3

）=

6

x1+2x2

-a=

6

x1+2x2

-

2ln x2 x1

x2-x1

；
要使f′（

x1+2x2

3

）＜0，只要

6

x1+2x2

-

2ln x2 x1

x2-x1

＜0（*）；
∵x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁+2x₂＞0，
（*）式可化为

3(x2-x1)

x1+2x2

-ln

x2

x1

＜0，
∴

3( x2 x1 -1)

2• x2 x1 +1

-ln

x2

x1

＜0，
令t=

x2

x1

，则t＞1，构造函数h（t）=

3(t-1)

2t+1

-lnt，
则h′（t）=

9

(2t+1)2

-

1

t

=-

(4t-1)(t-1)

t(2t+1)2

，
显然t＞1时，h′（t）＜0，即h（t）在[1，+∞）上是减函数，
∴h（t）＜h（1）=0，即证f′（

x1+2x2

3

）＜0．

点评：本题考查了函数的导数以及导数的综合应用问题，解题时应用导数求函数的切线，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值问题，是综合题．