Question

设f（x）=log

1

2

(10-ax)，a为常数，若f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）求使f（x）≥0的x的取值范围；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接令x=3代入函数f（x）的表达式即可求出a；
（2）f（x）=log

1

2

(10-2x)，f（x）≥0可化为log

1

2

(10-2x)≥0，解此对数不等式即可；
（3）不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立等价于m＜log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x恒成立，令g（x）=log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x，求m＜g（x）_最小值即可．

解答： 解：（1）f（3）=log

1

2

(10-3a)=-2，∴10-3a=(

1

2

)-2=4，∴a=2．
（2）f（x）=log

1

2

(10-2x)，
f（x）≥0可化为log

1

2

(10-2x)≥0，
∴0＜10-2x≤1，∴

9

2

≤x＜5，
f（x）≥0的x的取值范围为{x|

9

2

≤x＜5}；
（3）不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立等价于log

1

2

(10-2x)＞(

1

2

)x+m恒成立，也即m＜log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x恒成立，
令g（x）=log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x，∴m＜g（x）_最小值即可，
因为函数10-2x递减，函数y=log

1

2

x递减，由复合函数的单调性知函数y=log

1

2

(10-2x)单调递增，
又因为函数y=-(

1

2

)x单调递增，∴g（x）=log

1

2

(10-2x)-(

1

2

)x单调递增，
∴g（x）在区间[3，4]上的最小值g(x)最小值=g(3)=log

1

2

(10-6)-(

1

2

)3=-2-

1

8

=-

17

8

，
∴m＜-

17

8

．

点评：本题主要考查对数函数及复合函数的性质，复合函数的单调性是解题的关键，同时，不等式恒成立问题常转化为求最值来处理．