Question

2．如图，在四边形ABOC中，AO=BO=CO，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{13}{6}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{17}{6}$
• D． $\frac{13}{3}$

Answer 1

分析 建立坐标系，求出各点坐标，列方程组求出λ，μ的值即可得出答案．

解答 解：∵OA=BO=CO，∴O是△ABC的外接圆圆心，
以AB为x轴，以AB的中点为原点建立坐标系，
则A（-1，0），B（1，0），C（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴AB的中垂线方程为x=0，AC的中垂线方程为y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\frac{5}{4}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+\frac{5}{4}）}\end{array}\right.$，解得O（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AO}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2λ-\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}μ=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{5}{6}$，μ=$\frac{4}{3}$．
∴λ+μ=$\frac{13}{6}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的运算，属于中档题．