Question

12．已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为k．
（1）求k的值；
（2）若$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=k（{m＞0，n＞0}）$，求证：m+2n≥2．

Answer 1

分析 （1）由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，利用一次函数的单调性即可得出．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=2，（m，n＞0）．可得m+2n=$\frac{1}{2}$（m+2n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）$=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最大值为f（-1）=2，因此k=2．
（2）证明：由（1）可得：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=2，（m，n＞0）．
∴m+2n=$\frac{1}{2}$（m+2n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）$=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$）≥1+$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=2，当且仅当m=2n=1时取等号．
∴m+2n≥2．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．