Question

17．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与
圆O：x²+y²=4交于点A，B，与圆M：（x-2）²+（y-1）²=1交于点C，D．
（1）若$AB=\frac{3}{2}\sqrt{7}$，求CD的长；
（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），根据$AB=\frac{3}{2}\sqrt{7}$，利用弦长公式可得：$（\frac{3\sqrt{7}}{4}）^{2}$+$（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}$=2²，解得k，可得直线CD的方程，再利用弦长公式即可得出．
（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．可得S_△ABE=$\frac{1}{2}×|AB|•{x}_{E}$=4．
②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．k≠0时，可得直线CD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1．利用弦长公式可得：|AB|=2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（k²+1）x²-4k²x+3k²=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得E$（\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，\frac{（k-1）^{2}}{1+{k}^{2}}）$．利用点到直线的距离公式可得点E到直线AB的距离d．可得S_△ABE=$\frac{1}{2}$|AB|•d=2$\sqrt{4-\frac{5{k}^{2}+4}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），
∵$AB=\frac{3}{2}\sqrt{7}$，∴$（\frac{3\sqrt{7}}{4}）^{2}$+$（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}$=2²，
化为：k²=15，
解得k=$±\sqrt{15}$．
∴直线CD的方程为：y=$±\frac{1}{\sqrt{15}}$x+1．
∴|CD|=2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{±\frac{2}{\sqrt{15}}-1+1}{\sqrt{1+\frac{1}{15}}}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．
S_△ABE=$\frac{1}{2}×|AB|•{x}_{E}$=$\frac{1}{2}×4×2$=4．
②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，
若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．
k≠0时，可得直线CD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（k²+1）x²-4k²x+3k²=0，
△=16k⁴-12（k²+1）k²＞0，化为：k²＞3．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，可得E$（\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，\frac{（k-1）^{2}}{1+{k}^{2}}）$．
∴点E到直线AB的距离d=$\frac{|\frac{2{k}^{3}}{1+{k}^{2}}-\frac{（k-1）^{2}}{1+{k}^{2}}+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{{k}^{2}（3+4{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$=2$\sqrt{4-\frac{5{k}^{2}+4}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$，
令k²+1=t＞1，可得f（t）=$\sqrt{4-\frac{5t-1}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{1}{t}-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{9}{4}}$∈（0，2）．
∴S_△ABE∈（0，4）．
综上可得：S_△ABE∈（0，4]．

点评 本题考查了直线与圆相交弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性、分类讨论方法、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．