Question

10．在△ABC中，角C=60°，tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，则tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形内角和定理，构造思想，可得cot$\frac{C}{2}$=tan（$\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$）=$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}$即可求出．

解答 解：由题意：角C=60°，tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，
根据cot$\frac{C}{2}$=tan（$\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$）=$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}$，
可得：$\sqrt{3}$=$\frac{1}{1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}$，
解得：tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案为：1$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查了三角形内角和定理的转化和两角和与差的正切的计算．属于基础题．